Mobius反演与树状数组

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对于数状数组，大家应该不陌生，在此我还是说明一下它的背景吧。

我们经常会有以下要求：

对于一个序列，我们通常有两种操作，一种是取得一个子序列i到j之间的元素之和，另外一种操作是更新一个元素的值。当然，更新之后的下一次进行操作一的时候，这种改变要能够反应出来。

解法一：

大家肯定都会有一种简单的想法，用一个数组Sum，其中Sum[k]表示和1个到第k个元素的和。这样，当我们需要求第m到n个元素的和的时候，我们只需要用Sum[n]-Sum[m-1]就可以了，这个算法事实上是对的，不过，也是有问题的。当更新第k个元素的时候，我们就需要同时更新Sum数组。

问题：

以上算法事实上是对的，但是，在效率上是有问题的，这个问题反应在更新的过程，一次更新可能需要修改大量的Sum数组，这个代价是非常大的。有可能导致整个Sum数组都需要更新。

解法二：

解法二就是我们通常知道的用数状数组来解决了，同样的，我们定义状态数组TA[1…n]，其中TA[k]=A[k-2^i+1]+ A[k-2^k+2]+ … + A[k]，其中i是K的二进制表示中末尾的0的个数。当然为了得到2^i，我们只需要以下一行代码就可以:x&(x^(x-1))，这一行代码就可以实现，其证明过程是显然的。我们不妨定义以下函数：

int lowbit(int x){

return x&(x^(x-1));

}

我们现在的任务是要求出Sum[k]，如果我们能利用TA数组方便地求出Sum[k]的值，那么，我们就很容易方便地求出 第i个到第j个元素的各。

我们有如下的结果：

int sum(int k){

int s= 0;

while(k){

s+= TA[k];

k-= lowbit(k);

}

}

这个函数显然返回的是Sum[k]的值，显然我们知道利用TA数组我们可以在log(k)的时间内求出Sum[k]的值。现在的问题是我们要快速地构造出TA数组，并且在较快的时间内能更新TA数组。也就是说，我们有如下两个问题：

问题一：构造TA数组

任意给出一个k值，我们可以不断地用k-lowbit(k)代替k，直到为0，因此，我们有一个有限地递减序列K0,K1,K2…Kt，比如，当k是5的时候，我们的这个序列就是5、4、0。

根据上面的sum函数，我们有Sum[k]=TA[K0]+TA[K1]+…+TA[Kt]，当然，TA[Kt]就是TA[0]也就是0。我们可以由TA数组得到Sum数组，那么，另外一方面，我们是否可以用TA数组反解出Sum数组呢？事实上可以，当然，在这里面我们需要定义一个二元的偏序关系<=，

如果给一个元素k，我们可以不断地用k-lowbit(k)代替k，直到为0。这样我们得到一个有限递减序列K0、K1、K2…Kt=0。对于此序列中任何两个元素Ki,Kj（i>j）我们定义二元偏序<=为Kj<=Ki，也就是说，从Ki出发，不断地用Ki-lowbit(Ki)代替Ki最后能得到Kj，则有关系Kj<=Ki。

利用这个定义，我们可以把Sum[k]=TA[K0]+TA[K1]+…+TA[Kt]改写为Sum[k]为所有的TA[j]的和，其中j满足偏序j<=k。根据Mobius反演率，我们有

TA[k]为所有的Sum[i]*u(i，k)的和，其中Sum[i]为前i个元素的和，u(i,k)为Mobius反演函数，剩下的任务是求出Mobius反演函数。

根据Mobius反演定义，我们有u(k,k)=1，u(i,k)为所有-u(i,j)的和，其中j在上术定义的偏序关系中满足i<=j<=k，且j不等于k。这样显然我们就有了u(k,k)=1,u(k-lowbit(k),k)=-1,其它的I,j有u(I,j)=0，这样我们就有了TA[k]=Sum[k]- Sum[k-lowbit(k)]。这个式子表明我们可以在O(n)的复杂度内构造出TA数组（因为我们可以在O(n)复杂度为构造出Sum数组，再利用Sum我们可以在O(n)的复杂度内构造出TA）。

问题二：当一个元素变化的时候如何快速更新TA数组。

显然，如果从一个元素k开始，不断地用k-lowbit(k)代替k，我们得到一个序列K0(k)、K1、…Kt(0)，则我们知道一个元素A[Ki]的变化只影响TA[Kj]其中j<=i的值。这根据TA的定义，我们知道是显然的。也就是说，当一个元素A[k]更新了的时候，我们更新TA也只需要在log(n)的时间内完成。算法如下:

void update(int inode, int iadd){

while(inode<=n){

TA[inode]+= iadd;

inode+=lowbit(inode);

}

}.

总结：

这个东西也是我在做nyoj题目

（http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=116）的时候才想到的。当时看到那个Sum是用TA来求的时候我就立刻想到了用Mobius反演可以从Sum中反解出TA数组。当然，我比较菜，高手不要喷，谢谢。