lcs 最长公共字串算法

　　在“LD算法”中介绍了基于编辑距离的文本比较算法——LD算法。

　　本文介绍基于最长公共子串的文本比较算法——Needleman/Wunsch算法。

　　还是以实例说明：字符串A=kitten，字符串B=sitting

　　那他们的最长公共子串为ittn（注：最长公共子串不需要连续出现，但一定是出现的顺序一致），最长公共子串长度为4。

　　

　　定义：

　　LCS(A,B)表示字符串A和字符串B的最长公共子串的长度。很显然，LSC(A,B)=0表示两个字符串没有公共部分。

　　Rev(A)表示反转字符串A

　　Len(A)表示字符串A的长度

　　A+B表示连接字符串A和字符串B

　　性质：

　　LCS(A,A)=Len(A)

　　LCS(A,"")=0

　　LCS(A,B)=LCS(B,A)

　　0≤LCS(A,B)≤Min(Len(A),Len(B))

　　LCS(A,B)=LCS(Rev(A),Rev(B))

　　LCS(A+C,B+C)=LCS(A,B)+Len(C)

　　LCS(A+B,A+C)=Len(A)+LCS(B,C)

　　LCS(A,B)≥LCS(A,C)+LCS(B,C)

　　LCS(A+C,B)≥LCS(A,B)+LCS(B,C)

　　为了讲解计算LCS(A,B)，特给予以下几个定义

　　A=a₁a₂……a_N，表示A是由a₁a₂……a_N这N个字符组成，Len(A)=N

　　B=b₁b₂……b_M，表示B是由b₁b₂……b_M这M个字符组成，Len(B)=M

　　定义LCS(i,j)=LCS(a₁a₂……a_i,b₁b₂……b_j)，其中0≤i≤N，0≤j≤M

　　故：　　LCS(N,M)=LCS(A,B)

　　　　　　LCS(0,0)=0

　　　　　　LCS(0,j)=0

　　　　　　LCS(i,0)=0

　　对于1≤i≤N，1≤j≤M，有公式一

　　若a_i=b_j，则LCS(i,j)=LCS(i-1,j-1)+1

　　若a_i≠b_j，则LCS(i,j)=Max(LCS(i-1,j-1),LCS(i-1,j),LCS(i,j-1))

　　计算LCS(A,B)的算法有很多，下面介绍的Needleman/Wunsch算法是其中的一种。和LD算法类似，Needleman/Wunsch算法用的都是动态规划的思想。在Needleman/Wunsch算法中还设定了一个权值，用以区分三种操作（插入、删除、更改）的优先级。在下面的算法中，认为三种操作的优先级都一样。故权值默认为1。

　　

　　举例说明：A=GGATCGA，B=GAATTCAGTTA，计算LCS(A,B)

　　第一步：初始化LCS矩阵

Needleman/Wunsch算法矩阵 G A A T T C A G T T A G G A T C G A

0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0
0
0
0
0
0
0

　　第二步：利用公式一，计算矩阵的第一行

Needleman/Wunsch算法矩阵 G A A T T C A G T T A G G A T C G A

0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0
0
0
0
0
0

　　第三步：利用公式一，计算矩阵的其余各行

Needleman/Wunsch算法矩阵 G A A T T C A G T T A G G A T C G A

0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2
0	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
0	1	2	2	3	3	3	3	3	3	3	3
0	1	2	2	3	3	4	4	4	4	4	4
0	1	2	2	3	3	3	4	5	5	5	5
0	1	2	3	3	3	3	4	5	5	5	6

　　则，LCS(A,B)=LCS(7,11)=6

　　可以看出，Needleman/Wunsch算法实际上和LD算法是非常接近的。故他们的时间复杂度和空间复杂度也一样。时间复杂度为O(MN)，空间复杂度为O(MN)。空间复杂度经过优化，可以优化到O(M)。

LCS算法的代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
void swp(string &str1, string &str2)
{
	string tmp = str1;
	str1 = str2;
	str2 = str1;
}
string lcs(string &str1, string &str2)
{
	if(str1.size() > str2.size())
	{
		swp(str1, str2);
	}
	int min_size = str1.size();
	int *lcs_arr = new int[min_size+1];
	for(int i = 0; i <= min_size; i++)
	{
		lcs_arr[i] = 0;
	}
	int str1_len = str1.size();
	int str2_len = str2.size();
	int lcs_max = 0;
	int pointer = 0;
	for(int i = 0; i< str2_len;i++)
	{
		for(int j = str1_len -1 ;j>=0; j--)
		{
			if(str1[j] == str2[i])
			{
				lcs_arr[j+1] = lcs_arr[j] + 1;
			}
			else
			{
				lcs_arr[j+1] = 0;
			}
			if(lcs_arr[j+1] > lcs_max)
			{
				lcs_max = lcs_arr[j+1];
				pointer = j;
			}
		}
	}
	delete [] lcs_arr;
	string tmp ;
	for(int k = pointer - lcs_max;k <= pointer; k++)
	{
		tmp += str1[k];
	}
	return tmp;
}
int main()
{
	string a ;
	string b ;
    cout<<"please input 2 lcs string"<<endl;
	cout<<"please input a"<<endl;
	cin>>a;
	cout<<"please input b"<<endl;
	cin>>b;
	cout<<"lcs is "<<lcs(a,b)<<endl;;
	return 0;
}